Introducción
En geometría elemental se establecen fórmulas para calcular las áreas de muchas figuras planas, en particular se tienen fórmulas para calcular áreas de figuras con lados rectos, entre ellas, el área de triángulos, cuadrados, rectángulos y en general de polígonos regulares. Si un polígono es irregular se puede calcular su área recurriendo al método de triangulación.

El concepto de integral que construiremos en esta sección nos permitirá calcular áreas de figuras planas, cuyos lados no sean rectos, pero para su construcción nos basaremos en el conocimiento de la fórmula para calcular áreas de rectángulos, como podremos ver en el siguiente apartado. Por ahora establecemos las regiones con las que iniciaremos nuestro estudio.

Región R(f,a,b)
Iniciaremos la construcción intentando calcular el área de algunas regiones muy especiales: aquellas limitadas por el eje de las x, las rectas verticales que pasan por (a,0) y (b,0) y la gráfica de una función f acotada en [a,b] tal que las f(x) son no negativas, como se presenta en la figura.

En este tipo de regiones se incluyen, desde luego, rectángulos, triángulos y muchas de las figuras de geometría plana. El número que asignaremos eventualmente como área de la región R(f,a,b) le daremos el nombre de integral de f sobre [a,b].

Para definir la integral sobre [a,b] para funciones acotadas que puedan tener valores negativos como en la figura, basta hacer introducir el concepto de "área algebraica" considerando con valor positivo las áreas de regiones sobre el eje de las x y negativo en caso contrario.

Con esta consideración del "área algebraica" el procedimiento de construcción de la integral será el mismo, y su valor será la suma algebraica de las áreas de cada una de las regiones, como veremos en la sección de Función integrable, más adelante.